Пусть вертикальная асимптота задана уравнением а наклонная асимптота уравнением тогда объединение этих асимптот задано уравнением  . Включим уравнение пары асимптот в семейство уравнений  где C - произвольная константа. Выражая переменную у, получим Выбирая константу в виде чтобы параметры имели геометрическое значение, получаем формулу (1).

На рис. 2 построен угол с вершиной О, сторонами которого являются ось ординат и наклонная асимптота  Для данного угла построено несколько гипербол, ветви которых асимптотически приближаются к сторонам угла. Для произвольного значения q построено несколько точек E(q; 2kq), которые являются точками экстремума графика функции внутри данного угла. Отметим, что точки экстремумов расположены на прямой с уравнением

Рассмотрим важное замечание. В школьном и вузовском курсах математики сообщается, что функциональную зависимость одной переменной от другой переменной можно задавать различными способами и в дальнейшем все функции в математике представляются в виде  Поэтому переменной х соответствует единственное значение у. Графики с горизонтальной асимптотой почти отсутствуют и, тем более, отсутствуют графики, на которых переменной х соответствует несколько значений переменной у.

Для восполнения этого недочёта предлагается исследовать функции вида .

Компьютерная программа для построения нового типа функций:

Uses GraphABC; Var x0,y0,k,b,a,q,m,i,y,h,n:Integer; x:real; Begin

x0:=300; y0:=240; k:=-2; b:=-4; a:=-3;q:=1; m:=20;n:=12; h:=1000;

Line (-n*m+x0,y0,n*m+x0,y0); {ось Ох}Line (x0,-n*m+y0,x0,n*m+y0); {ось Оу}

SetPenStyle(psDash); {стиль штриховой линии для асимптот}

 Line (-n*m+x0,-a*m+y0,n*m+x0,-a*m+y0); {горизонтальная асимптота}

Line ((-k*n+b)*m+x0,n*m+y0,(k*n+b)*m+x0,-n*m+y0); {наклонная}

For i:=-n To n Do Begin {цикл построения меток на осях}

Line (i*m+x0,y0,i*m+x0,-5+y0); Line (x0,i*m+y0,-5+x0,i*m+y0); End;

For y:=-n*100 To a*100-1 Do Begin

{точки графика ниже горизонтальной асимптоты}

x:=(k*y*y/10000+(b-a*k)*y/100+k*q*q-a*b)/(y/100-a);

PutPixel(trunc(x*m)+x0, -Trunc(y*m/100)+y0,clBlack); End;

For y:=a*100+1 To n*100 Do Begin

{точки графика выше горизонтальной асимптоты}

x:=(k*y*y/10000+(b-a*k)*y/100+k*q*q-a*b)/(y/100-a);

PutPixel(trunc(x*m)+x0, -Trunc(y*m/100)+y0,clBlack); End;

SetPenStyle(psDot); {стиль пуктирной линии }

Line ((k*a+b-2*k*q)*m+x0,-(a-q)*m+y0,(k*a+b-2*k*q)*m+x0,y0);

{проекция Е2 на Ох}

Line ((k*a+b-2*k*q)*m+x0,-(a-q)*m+y0,x0,-(a-q)*m+y0); {проекция Е2 на Оy}

Line ((k*a+b+2*k*q)*m+x0,-(a+q)*m+y0,(k*a+b+2*k*q)*m+x0,y0);

{проекция Е1 на Ох}

Line ((k*a+b+2*k*q)*m+x0,-(a+q)*m+y0,x0,-(a+q)*m+y0); {проекция Е1 на Оy}

Write ('Экстремумы E1(',k*a+b+2*k*q,';',a+q,'), Е2(',k*a+b-2*k*q,';',a-q, '), .'); Writeln;

Writeln ('Геометрические параметры: b=',b,'; k=',k,'; q=',q,'; a=',a);

Writeln ('Формула: x=(kyy+(b-a*k)*y+kqq-ab)/(y-a)');{вид функции}

Write ('Функция: x=(',k,'*y*y+(',b-a*k,')*y+',k*q*q-a*b,')/(y-(',a,'))'); end.

Для рис. 3 компьютерная программа построила график функции и сообщила следующую информацию.

Экстремумы E1(-2;-2), Е2(6;-4) .

Геометрические параметры: b= -4; k= -2; q=1; a= -3

Формула: x=k*y*y+(b-a*k)*y+k*q*q-a*b)/(y-a).

Функция: